Aby określić prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na wylosowaniu żołnierza mającego równo lub więcej niż 196 cm wzrostu należy wyznaczyć wartość z. Dla średniej =185 oraz dla odchylenia standardowego 5,127 parametr z przyjmie wartość:

 

Parametr z oznacza liczbę odchyleń standardowych od średniej rozkładu. Zatem dla wartości 196 z wynosi 2,146 odchylenia standardowego powyżej średniej. Jeśli z jest ujemne, to znaczy, że szukana wartość jest poniżej średniej rozkładu.

Tabela rozkładu normalnego dla wartości z:

Prawdopodobieństwo odczytuje się z tablicy dla parametru z rozkładu normalnego. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegające na wylosowaniu żołnierza mającego równo lub więcej niż 196 cm wzrostu wynosi 0,0158.

Prawdopodobieństwo zdarzenia obliczone w Excelu

Prawdopodobieństwo tego zdarzenia można również obliczyć przy pomocy funkcji Excela ROZKŁAD.NORMALNY.S(z) (w wersji amerykańskiej funkcja ta nosi nazwę NORM.S.DIST)

Wstawiamy do funkcji z = 2,145504

=1-ROZKŁAD.NORMALNY.S(2,145504) = 0,0159

Obliczenia w Minitab

Prawdopodobieństwo zdarzenia w rozkładzie normalnym można również obliczyć używając programu MiniTab.

Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na wylosowaniu żołnierza mającego równo lub więcej niż 196 cm wzrostu wynosi 0,01596.

Kluczową jest tu informacja o tym, czy rozkład danych ma charakter rozkładu normalnego.

Informacja jest kluczowa, ponieważ decyduje o tym, czy możemy wykorzystać reguły rozkładu normalnego. Metodologia Six Sigma w ogromnej części opiera się na założeniu rozkładu normalnego dla badanej populacji.

Pierwszy test normalności Kołmogorova-Smirnova pojawił się w 1933 roku. Trudno było przy jego pomocy udowodnić brak normalności rozkładu.  W latach 60-tych pojawiły się kolejne testy: Test Lillieforsa i Test Shapiro-Wilka.

W roku 1973 pojawił się test Test D'Agostino-Pearsona, który oparty jest na skośności i kurtozie rozkładu. Rozkład normalny charakteryzować powinna zerowa skośność i zerowa kurtoza.

Najczęściej stosowanym w Six Sigma testem na potwierdzenie normalności rozkładu jest test Andersona-Darlinga z 1952 roku. Jest to modyfikacja testu Kołmogorowa-Smirnowa (K-S), od którego jest bardziej czuły i daje większą wagę ogonom.

Zanim przejdziemy do testów normalności chciałbym jeszcze pokazać przykład sytuacji, w której szukamy prawdopodobieństwa zdarzenia polegającego na wylosowaniu wartości, która znajduje się poniżej średniej rozkładu.

Mamy populacje 12 tys. pomiarów stanu cieczy w zbiorniku. Średnia wynosi 112 cm, odchylenie standardowe wynosi 15. Rozkład zebranych pomiarów danych jest zbliżony do rozkładu normalnego.

Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia, że poziom cieczy w zbiorniku spadnie do poziomu poniżej 98 cm.

Wykorzystując tablicę parametru z rozkładu normalnego.

Parametr z ma wartość ujemna, ponieważ szukana wartość jest niższa od średniej rozkładu.

Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na spadku poziomu cieczy w zbiorniku technologicznym wynosi 17,63

Możemy również skorzystać z programu Minitab. Sposób obliczenia w Minitab prawdopodobieństwa zdarzenia w zbiorze danych rozkładu normalnego przedstawiłem w poprzednim wpisie. Tablice dają niższy poziom dokładności w porównaniu z wynikiem wygenerowanym przez Minitab.

Załóżmy, że chcemy określić prawdopodobieństwo zdarzenia ustalenia stanu cieczy w zbiorniku na poziomie pomiędzy 100 a 105 cm. Zdarzenie takie może wystąpić z prawdopodobieństwem 10,85

Podobna, lecz nieidentyczną wartość można odczytać z tablic:

Różnica prawdopodobieństw z₁ i z₂ daje wartość prawdopodobieństwa zdarzenia

32,28 - 21,19 = 11,09

 

 

Tym, co prowadzi do niepowodzenia dużej części kursów Six Sigma Black Belt jest zbyt pobieżne omawianie najważniejszych i jednocześnie najprostszych parametrów i pojęć statystycznych. Buduje to wśród słuchaczy awersje do stosowania bardziej złożonych narzędzi statystycznej kontroli procesów. W trakcie tego kursu będę starał się omówić powili i dokładnie podstawową stosowaną praktycznie teorię statystyki.

Statystyka jest nauką posiadającą wielką ilość złożonych, teoretycznych narzędzi badawczych. Na szczęście Six Sigma jest podejściem, które bardzo upraszcza statystykę klasyczną. Celem Six Sigmy jest szybka diagnoza i szybkie działania naprawcze, nawet kosztem pewnych uproszczeń i ignorowania subtelności naukowych.

Aby zostać Black Beltem Six Sigma nie trzeba być wybitnym statystykiem. Trzeba umieć obsługiwać program MiniTab oraz trzeba rozumieć statystykę. Trzeba mieć łatwość korzystania z narzędzi statystycznej kontroli procesów.

 Black Belt ma za zadanie szybko i trwale optymalizować procesy i jednocześnie być bardzo wyczulony na potrzeby biznesowe. Nie może on sobie pozwolić na długotrwałe rozważania teoretyczne statystyki opisowej. 

Bardzo wiele osób w Six Sigma unika stosowania podstawowych, twardych narzędzi statystycznej kontroli procesów, takich jak karty kontrolne czy testy na rzecz, miękkich narzędzi psychologicznych i opisowych.

Powodem jest strach przed zawiłością i teoretycznym charakterem statystyki. Tymczasem właśnie Six Sigma i TQM bardzo upraszczają statystykę czyniąc z niej skuteczne narzędzie optymalizacji procesów.